傅里葉變換及諧波

輸出的是方波，顯示出的卻是正弦波或其他波形，這是為什么？

在正式揭開謎團之前，我們需要先明白方波是什么。先介紹一位老朋友——傅里葉。傅里葉是19世紀法國著名的數學家、物理學家，是他提出了對后世影響極大的傅里葉變換，在多個領域都有廣泛的應用。

微積分，卷積，傅里葉級數，傅里葉矩陣，離散的連續的，周期的非周期的……傅里葉變換是讓無數學子頭疼的一個知識點，不過我們今天只需了解其物理意義。

通俗來講，傅里葉變換是：

任何一個數學函數，都可以寫成是多個正弦函數的和。

從物理學角度來講，傅里葉變換是：

任何一個復雜的電磁波信號都可以由多個最基本的正弦波信號疊加組成。

綜上，可以說方波也是由無數個正弦波組成的。

如下圖顯示，信號是一個方波，橫軸代表時間，豎軸代表幅度，而向頻率方向映射過去就得到了時域圖像：

傅里葉變換提到過，方波其實就是由基波再加上無數的正弦波共同構成的，那么上圖中部這么多的正弦波其實就是基波、三次諧波、五次諧波以及最后的n次諧波。圖上豎軸代表幅度，縱軸代表頻率，向時間方向映射過去就得到了頻域圖像。

為了更好地理解，我們可以做個實驗：

使用SDG6000X任意波形發生器輸出一個5MHz的正弦波，使用SDS2000X Plus數字示波器的FFT功能后，它的頻譜圖只有一個峰值點處于5MHz處。

此時，我們直接將輸出的正弦波換成方波，從它的FFT頻譜圖可以看到有很多個峰值點，峰值分別處于5MHz, 15MHz, 25MHz……其實這就是我們剛才所說的基波、三次諧波、五次諧波等。

方波為什么不方？

認識到“方波是由無數個正弦波組成”這個本質之后，我們繼續來探討“為什么方波不方”這個問題。

在剛才的實驗中曾經多次提到一個詞——諧波。三次諧波的頻率為基波的3倍，五次諧波為5倍，那么N次諧波則為N倍。既然方波是由無數的正弦波組成，那么諧波越多，方波的棱角就越方，顯示出來的波形就越接近于理想的方波。

01 示波器帶寬

怎么保證正弦波的數量足夠多呢？這就涉及到一個參數——示波器的帶寬。

當方波被一定帶寬的示波器測量時，高于示波器帶寬的諧波就被示波器過濾掉了，基本上只留下低于帶寬的一些諧波；當諧波少于一定數量時，方波的棱角就變得圓滑，甚至直接變成了正弦波。

使用一臺帶寬為500MHz的SDS2000X Plus數字示波器以及SDG6000X任意波形發生器，首先發出一個頻率為60MHz的方波，可以看到此時的波形雖然棱角不夠分明，但也能看出是個方波。

我們打開200MHz帶寬限制，此時剛才所看到的棱角直接變得圓滑了起來， 形狀偏向正弦波更多一些。