傅里葉變換及諧波

輸出的是方波，顯示出的卻是正弦波或其他波形，這是為什么？

在正式揭開謎團(tuán)之前，我們需要先明白方波是什么。先介紹一位老朋友——傅里葉。傅里葉是19世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，是他提出了對(duì)后世影響極大的傅里葉變換，在多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。

微積分，卷積，傅里葉級(jí)數(shù)，傅里葉矩陣，離散的連續(xù)的，周期的非周期的……傅里葉變換是讓無(wú)數(shù)學(xué)子頭疼的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，不過(guò)我們今天只需了解其物理意義。

通俗來(lái)講，傅里葉變換是：

任何一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)，都可以寫成是多個(gè)正弦函數(shù)的和。

從物理學(xué)角度來(lái)講，傅里葉變換是：

任何一個(gè)復(fù)雜的電磁波信號(hào)都可以由多個(gè)最基本的正弦波信號(hào)疊加組成。

綜上，可以說(shuō)方波也是由無(wú)數(shù)個(gè)正弦波組成的。

如下圖顯示，信號(hào)是一個(gè)方波，橫軸代表時(shí)間，豎軸代表幅度，而向頻率方向映射過(guò)去就得到了時(shí)域圖像：

傅里葉變換提到過(guò)，方波其實(shí)就是由基波再加上無(wú)數(shù)的正弦波共同構(gòu)成的，那么上圖中部這么多的正弦波其實(shí)就是基波、三次諧波、五次諧波以及最后的n次諧波。圖上豎軸代表幅度，縱軸代表頻率，向時(shí)間方向映射過(guò)去就得到了頻域圖像。

為了更好地理解，我們可以做個(gè)實(shí)驗(yàn)：

使用SDG6000X任意波形發(fā)生器輸出一個(gè)5MHz的正弦波，使用SDS2000X Plus數(shù)字示波器的FFT功能后，它的頻譜圖只有一個(gè)峰值點(diǎn)處于5MHz處。

此時(shí)，我們直接將輸出的正弦波換成方波，從它的FFT頻譜圖可以看到有很多個(gè)峰值點(diǎn)，峰值分別處于5MHz, 15MHz, 25MHz……其實(shí)這就是我們剛才所說(shuō)的基波、三次諧波、五次諧波等。

方波為什么不方？

認(rèn)識(shí)到“方波是由無(wú)數(shù)個(gè)正弦波組成”這個(gè)本質(zhì)之后，我們繼續(xù)來(lái)探討“為什么方波不方”這個(gè)問(wèn)題。

在剛才的實(shí)驗(yàn)中曾經(jīng)多次提到一個(gè)詞——諧波。三次諧波的頻率為基波的3倍，五次諧波為5倍，那么N次諧波則為N倍。既然方波是由無(wú)數(shù)的正弦波組成，那么諧波越多，方波的棱角就越方，顯示出來(lái)的波形就越接近于理想的方波。

01 示波器帶寬

怎么保證正弦波的數(shù)量足夠多呢？這就涉及到一個(gè)參數(shù)——示波器的帶寬。

當(dāng)方波被一定帶寬的示波器測(cè)量時(shí)，高于示波器帶寬的諧波就被示波器過(guò)濾掉了，基本上只留下低于帶寬的一些諧波；當(dāng)諧波少于一定數(shù)量時(shí)，方波的棱角就變得圓滑，甚至直接變成了正弦波。

使用一臺(tái)帶寬為500MHz的SDS2000X Plus數(shù)字示波器以及SDG6000X任意波形發(fā)生器，首先發(fā)出一個(gè)頻率為60MHz的方波，可以看到此時(shí)的波形雖然棱角不夠分明，但也能看出是個(gè)方波。

我們打開200MHz帶寬限制，此時(shí)剛才所看到的棱角直接變得圓滑了起來(lái)， 形狀偏向正弦波更多一些。